Знак пересечения в точке: Таблица знаков в геометрии и их значения: пересечение, подобие

Таблица знаков в геометрии и их значения: пересечение, подобие

Ниже представлена таблица с основными математическими символами и знаками, которые используются в геометрии с 7 класса и старше.

microexcel. ru

Вставка математических знаков — Word

Урок по теме «Пересечение и объединение множеств».

Тип урока: изучение нового материала.
Цели:

• формирование знаний о пересечении и объединении множеств;
• развитие умений и нахождение числа элементов пересечения и объединения множеств, выявлять закономерность, обобщать и делать выводы, воспитание ответственного отношения к учебе.

Ход урока

1. Организационный момент.

2. Повторение изученного по теме «Множества».

Вопросы для учащихся:

• Что такое множество?
• Что такое элементы множества?
• Какое множество конечно и бесконечно?
• Какое множество называется пустым?

3. Изучение нового материала «Пересечение множеств».

Учитель. Рассмотрим следующие два множества: М – множество всех точек круга, N – множество точек прямой, пересекающей круг. Каждый видит, что пересечение круга с прямой – это отрезок; обозначим его концы буквами А и В. Задумаемся: каким свойством обладают точки этого отрезка по отношению к множествам М и N? Ответ ясен: точки отрезка АВ – это в точности те точки, которые принадлежат и множеству М, и множеству N. Так что множество всех точек отрезка АВ естественно назвать пересечением множеств М и N.

Точно так же можно определить пересечение любых двух множеств М и N. Пересечением множеств М и N называется множество, состоящее из всех элементов, принадлежащих каждому из множеств М и N. Пересечение множеств М и N обозначают М ∩ N. Читают: «пересечение М и N» или «М пересечение N». Знак ∩ называется знаком пересечения.

Обсудим несколько примеров.

Пример 1. М – множество всех учениц какой-то школы, N – множество всех учащихся данного класса этой школы. Тогда  М ∩ N – это множество всех девочек из данного класса.

Пример 2. М – множество всех квартир на 1-м этаже в каком-то доме, N – множество всех квартир в данном подъезде этого дома. Тогда М ∩ N – это множество всех квартир на 1-м этаже в данном подъезде.

Пересечение множеств точек двух фигур на плоскости легче представить, если нарисовать эти фигуры. Сделаем это, например, для двух кругов. Множество всех точек первого круга обозначим М, второго – N. Для пересечения М ∩ Nмогут быть три варианта; они изображены на рисунке.

Если конечные множества записаны при помощи фигурных скобок списками своих элементов, то легко записать их пересечение.

Примеры:

Пересечение можно образовывать не только для двух множеств, но и для любого их числа. Определяется это точно так же, как и для двух множеств: пересечением данных множеств называется множество, состоящее из всех элементов, принадлежащих каждому из этих множеств. Пересечение множеств М, N и Р обозначается М ∩N ∩ Р.

Вопрос для учащихся:

Что обозначает запись Р ∩ Q ∩ R ∩ S? Какому множеству равно это пересечение, если

4. Первичное закрепление понятия пересечения множеств.

Вопросы:

• Что такое пересечение двух множеств; нескольких множеств?
• Что значит, что два множества не пересекаются? Приведите 2-3 примера непересекающихся множеств.
• Какое множество обозначается знаком      ?

Практические задания:

1. Для каждой пары множеств М и Nзапишите  их пересечение:

N – множество всех неправильных дробей.

2. Для каждой пары множеств М и N укажите их пересечение:

• М – множество всех нечетных чисел, N – множество всех натуральных чисел, делящихся на 4;
• М – множество всех правильных дробей, N – множество всех десятичных дробей;
• М – множество всех натуральных чисел, делящихся на 3, N – множество всех натуральных чисел, делящихся на 5.

3. Дан многоугольник. Каждую его сторону будем рассматривать как множество всех точек, принадлежащих этой стороне. Для каждой пары сторон многоугольника укажите множество, равное пересечению этих двух сторон, если многоугольник – это:

а) треугольник АВС;

б) прямоугольник KLMN.

4. Рассмотрите три множества {1, 2}, {2, 3}, и {3, 1}. Убедитесь, что их пересечение пусто, а пересечение любых двух из этих множеств не пусто.

5. Пусть М – множество всех букв слова СЛОН, N – множество всех букв слова СТОН, Р – множество всех букв слова СТОГ, S – множество всех букв слова СЛОГ.

• Запишите всевозможные попарные пересечения этих множеств. Имеются ли среди них равные?
• Запишите всевозможные пересечения троек этих множеств. Имеются ли среди них равные?
• Запишите пересечение всех этих множеств. Равно ли оно какому-то из множеств, найденных вами в пунктах а) и б)?

5. Изучение нового материала «Объединение множеств».

Учитель. Объединением множеств М и N называется множество всех элементов, принадлежащих хотя бы одному из множеств М и N.

Объединение множеств М и N обозначают  М N. Читают: «объединение М и N» или «М объединение N». Знак  называется знаком объединения.

Разберем несколько примеров. Обдумайте каждый из них.

Пример 1. М – множество всех учеников данного класса, получивших на сегодняшний день пятерку по какому-нибудь предмету, N – множество всех учеников того же класса, получивших в этот день четверку по какому-нибудь предмету. Тогда  М N – это множество всех учеников данного класса, получивших за сегодняшний день повышенные отметки.

Пример 2. М – множество всех правильных дробей, N – множество всех неправильных дробей. Тогда  М N – это множество всех обыкновенных дробей.

Пример 3. М – множество всех букв слова КОШКА, N – множество всех букв слова МЫШКА. Тогда  М N = {А, К, М, О, Ш, Ы}.

Задание для учащихся: Приведите сами какой-нибудь пример объединения двух множеств.

Учитель. Как и пересечение, объединение можно образовать не только для двух множеств, но и для любого их числа: объединением данных множеств называется множество, состоящее…

Закончите определение. Догадайтесь, как записать объединение трех множеств М, N и Р.

Если конечные множества записаны при помощи фигурных скобок списками своих элементов, то, как и для пересечения, легко записать их объединения.

Для любых множеств М и N  можно образовать их пересечение  М ∩ N и объединение М N. Это похоже на то, что происходит при действиях над числами: для любых двух чисел m и  n можно образовать их произведение   m  n и сумму m+n. Так получаются действия, которые назвали умножением и сложением. Поэтому образование пересечения и образование объединения можно назвать действиями над множествами.

Выполняются ли те же законы для пересечения и объединения множеств?  Давайте рассуждать. Начнем с переместительного закона.

Повторим, что такое пересечение двух множеств: множество М ∩ N состоит из всех элементов, принадлежащих каждому из множеств М и N, а множество N ∩М состоит из всех элементов, принадлежащих каждому из множеств Nи М. Но сказать «каждому из множеств М и N» или «каждому из множеств N и М» — значит сказать одно и то же: ведь ясно, что неважно, в каком порядке перечислять здесь множества. Значит, множества М ∩N и N ∩М состоят из одних и тех же элементов, т.е.

М ∩ N = N ∩М.

Данное равенство и означает, что переместительный закон для пересечения верен.

Чтобы проверить сочетательный закон, надо убедиться, что для любых трех множеств М, N и Р выполняется равенство

М ∩(N ∩Р)= (М ∩N) ∩Р

Легко понять, что в левой и правой частях этого равенства записаны множества, состоящие из всех элементов, принадлежащих каждому из множеств М, N и Р, т.е. состоящие из одних и тех же элементов. Это и означает, что требуемое равенство выполняется.

6. Первичное закрепление изученного понятия объединения множеств.

Вопросы:

• Что такое объединение двух множеств; нескольких множеств?
• О выполнении каких законов для действий пересечения и объединения множеств идет речь в объяснительном тексте этого параграфа?
• Каким множеством – конечным или бесконечным – будет объединение: а) двух конечных множеств; б) двух бесконечных множеств; в) конечного и бесконечного множеств?

Практические задания:

1. Для каждой пары множеств М и N запишите их объединение:

2. Для каждой пары множеств М и N укажите их объединение:

• М – множество всех нечетных чисел, N – множество всех четных чисел;
• М – множество всех квадратов на плоскости, N – множество всех прямоугольников на той же плоскости, четырехугольников;
• М – множество всех натуральных чисел, делящихся на 3, N – множество всех натуральных чисел, делящихся на 15.

3. Пусть М – множество всех букв слова СЛОН, N – множество всех букв слова СТОН, Р – множество всех букв слова СТОГ, S – множество всех букв слова СЛОГ.

• Запишите всевозможные попарные объединения этих множеств. Имеются ли среди них равные?
• Запишите всевозможные объединения троек этих множеств. Имеются ли среди них равные?
• Запишите объединение всех этих множеств. Равно ли оно какому-то из множеств, найденных вами в пунктах а) и б)?

7. Изучение нового – вывод правила подсчета числа элементов объединения и пересечения множеств.

Учитель. Чтобы вывести правило давайте разберем конкретный пример. Пусть М = {Вася, Валя, Вера, Игорь}, т.е. m=4;

N = {Валя, Гриша, Игорь}, т.е. n=3.

Запишем объединение этих множеств:

М N = {Вася, Валя, Вера, Гриша, Игорь}.

В множестве МN пять элементов, а m+n=4+3=7. Вот мы и видим, что в МN элементов меньше чем 7.

Почему так получилось? Да потому, что в данном примере можно указать учеников, которые в этот день получили и пятерку, и четверку. Другими словами здесь пересечение М ∩N не пусто: М ∩ N = {Валя, Игорь}. Но в объединении-то МN каждый элемент пересечения М ∩N присутствует (и подсчитывается) только один раз, а не два раза.

Давайте-ка изобразим ситуацию нашего примера на рисунке.

Если бы подсчитали здесь сумму m+n (т.е. 4+3), то каждый элемент пересечения (в данном примере Валя и Игорь, т.е. 2 элемента) оказался бы подсчитанным дважды. Значит, чтобы узнать число элементов объединения, надо из суммы m+n вычесть число лишний раз сосчитанных элементов пересечения. В данном примере получаем 4+3-2=5.

Данная задача была решена с помощью рисунка, этот способ называется «Круги Эйлера». Леонард Эйлер – швейцарский математик, который в 18 веке работал в Российской академии наук и сделал много открытий для нашей науки.

Итак, если мы возьмем сумму m+n, то в ней элементы пересечения М ∩N будут сосчитаны дважды. Значит, чтобы определить число элементов объединения, надо из суммы m+n вычесть число лишний раз сосчитанных элементов из М ∩N, т.е. число р. Получим такую формулу: q=m+n-p.

Сформулируем правило для нахождения числа элементов объединения множеств:

Чтобы найти число элементов объединения двух множеств, надо сложить числа элементов этих множеств и вычесть из полученной суммы число элементов их пересечения.

Сформулируем правило для нахождения числа элементов пересечения множеств:

Чтобы найти число элементов пересечения двух множеств, надо сложить числа элементов этих множеств и вычесть из полученной суммы число элементов их объединения.

8. Первичное закрепление изученного.

Практические задания (устно):

1. Вычислите число элементов в объединении множеств М и N, если:

• М содержит 10 элементов, N – 15 элементов, а М ∩N – 7 элементов;
• М содержит 27 элементов, N – 18 элементов, а М ∩N – 13 элементов;
• М содержит 45 элементов, N – 57 элементов, а М ∩N – 1 элемент.

2. Вычислите число элементов в пересечении множеств М и N, если:

• М содержит 10 элементов, N – 15 элементов, а М ∩N – 17 элементов;
• М содержит 27 элементов, N – 18 элементов, а М ∩ N – 45 элементов;
• М содержит 45 элементов, N – 57 элементов, а М ∩N – 100 элементов.

Решение задач с помощью кругов Эйлера:

№1. В классе 28 учеников. Каждый из них начертил у себя в тетради один из двух четырехугольников – прямоугольник или ромб. При проверке прямоугольников оказалось 17, а ромбов – 15. Как такое могло случиться?

№2. В осенние каникулы 12 учеников класса участвовали в междугородных экскурсиях в Москву и Санкт-Петербург, при этом 8 из них посетили Санкт-Петербург, а 6 – Москву. Сколько из этих учеников побывало и в Москве, и в Санкт-Петербурге?

Задание на дом:

№1. Найдите пересечение множеств учителей, которые вели уроки в вашем классе: а) вчера и сегодня; б) вчера и позавчера. Оказалось ли какое-то из этих двух пересечений пустым?

№2. Вася, рассматривая свой дневник погоды, обнаружил, что в сентябре 17 раз отмечен дождь и 19 раз – сильный ветер. При этом дней, когда одновременно шел дождь и дул сильный ветер, оказалось 7. Был ли хоть один день, когда не было ни дождя, ни сильного ветра?

В Башкирии установили географический знак с уникальными координатами

Фото: автор

УФА, 8 окт 2018. /ИА «Башинформ», Алик Шакиров/.

Летом этого года стартовал новый проект регионального отделения Русского географического общества «Башкирская кругосветка».

Его участники должны посетить крайние географические точки республики: северную в Янаульском районе,

западную — в Бакалинском, южную — в Зианчуринском, восточную — в Учалинском районах, а также географический центр Башкортостана в Гафурийском районе.

Сегодня, 9 октября, у любителей авто-, мото- и вело-туризма, участвующих в проекте, появился еще один объект для посещения — географический знак в виде бело-голубого столба с прикрепленной гранитной табличкой, на которой указаны уникальные географические координаты: 55*55′ северной широты 55*55′ восточной долготы. Его местонахождение – недалеко от деревни Нижнесаитово в Кушнаренковском районе республики.

«Таких точек на нашей планете четыре, но это единственная на Земле географическая точка, находящаяся на суше. Остальные три находятся в Индийском, Атлантическом и Тихом океанах. Здесь, возле Нижнесаитово, вместе сошлись восемь пятерок. Думается, что этот знак станет излюбленным местом для всех, кто любит нашу родину, для патриотов нашего прекрасного края, туристов, краеведов из других регионов страны, и даже из-за рубежа. Иностранные фирмы и туроператоры уже заинтересовались нашим новым туристическим объектом», — сообщил на церемонии открытия новой географической точки председатель регионального отделения РГО в РБ, известный писатель и путешественник Камиль Зиганшин.

По его словам, значение сегодняшнего события трудно переоценить, оно имеет поистине историческое значение. Если прежние пять географических точек, где усилиями РГО в РБ и местных властей, энтузиастов-общественников были установлены соответствующие стелы, имели региональный статус, то установление стелы «55/55» в окрестностях деревни Нижнесаитово Кушнаренковского района можно считать событием планетарного масштаба. Благодаря этому знаку, Башкортостан станет более известен, узнаваем в мире. По большому счету, у республики появился новый бренд. Руководитель РГО в РБ поблагодарил администрацию Кушнаренковского района, руководителей и сотрудников сельского поселения Бакаевский сельский Совет, жителей Нижнесаитово, всех, кто помогал в установлении стелы, облагораживании территории вокруг нее, отметив, что начиная со следующего года географический знак в Кушнаренковском районе будет включен в маршрут ежегодного проекта регионального отделения РГО «Башкирская кругосветка».

Заместитель главы администрации Кушнаренковского района Азат Исмагилов, в свою очередь, высказал слова благодарности в адрес регионального отделения Русского географического общества, оценившего важность этой географической точки и официально закрепившем его законный статус путем установления соответствующего знака.

После церемонии открытия стелы «55/55», на территории вокруг нее были высажены более 50 саженцев лиственных деревьев — берез, лип, а также около двух десятков кедров. Эти кедры привез из далеких северных краев и передал в дар Бакаевскому сельсовету и жителям Нижнесаитово наш земляк, житель города Радужный Ханты-Мансийского АО, обладатель звания «Человек года Республики Башкортостан», вице-президент Тюменского областного фонда им. В.И. Муравленко, член Общественной палаты ХМАО (Югры) Мидхат Хасанов. А после посадки деревьев на импровизированной сцене состоялся концерт силами участников местной художественной самодеятельности. Любимица публики, руководитель местного сельского дома культуры, лауреат многих республиканских конкурсов Резеда Сабитова, предваряя исполнение своих песен, отметила, что массовые публичные мероприятия на этом месте начали проводиться еще два года назад, и уже тогда жители окрестных сел знали и гордились тем, что именно здесь пересекаются параллели и меридианы нашей планеты, и называли эти «55/55» цифрами ангелов. Вообще, весь сегодняшний день у географического знака «55/55» стал настоящим праздником для жителей окрестных сел и деревень, вылившись в своего рода сабантуй.

О том, что именно возле Нижнесаитово находится точка пересечения 55 градуса северной широты и 55 градуса восточной долготы стало известно блогерам и журналистам республики еще четыре года назад. Об этом сообщил участник сегодняшней церемонии открытия стелы «55/55» Шамиль Валеев, в 2014 году главный редактор агентства «Башинформ», а ныне руководитель портала «Медиакорсеть».

«Тогда нас собралось около десяти человек — кроме меня, еще известный блогер Раис Габитов,член Общественной палаты РБ Ильгиз Калимуллин и другие. Сбросились по две тысячи, заказали столб, знаки. А потом на транспорте агентства «Башинформ» привезли сюда и установили этот четырехметровый столб с указателями на города столицы стран Шанхайской организации сотрудничества, куда входят Китай, Россия, Казахстан, Таджикистан, Киргизия и Узбекистан, и стран БРИКС — Бразилия, Россия, Индия, Китай и Южно-Африканская Республика. Произошло это в сентябре 2014 года, перед саммитами ШОС и БРИКС в Уфе. И я очень рад, что спустя четыре года на этом месте Русским географическим обществом установлен официальный географический знак, указывающий на 55 градусов северной широты и 55 градусов восточной долготы. Действительно, это уникальное место, которого нет больше нигде в мире. Эта точка может стать новой республиканской достопримечательностью. С помощью этих координат можно всегда объяснить иностранцу, где находится Башкирия — часто за рубежом бывает непросто рассказать, где именно в России находится Башкортостан. Важно, что теперь каждый молодой человек, который узнал о точке «55/55», навсегда запомнит, где находится Башкирия на планете и, возможно, захочет стать мореплавателем, географом, ученым, в любом случае, любящим и знающим свою Родину человеком».

Координаты точки пересечения двух прямых

Для того, чтобы решить геометрическую задачу методом координат, необходима точка пересечения, координаты которой используются при решении. Возникает ситуация, когда требуется искать координаты пересечения двух прямых на плоскости или определить координаты тех же прямых в пространстве. Данная статья рассматривает случаи нахождения координат точек, где пересекаются заданные прямые.

Точка пересечения двух прямых – определение

Необходимо дать определение точкам пересечения двух прямых.

Раздел взаимного расположения прямых на плоскости показывает, что они могут совпадать , быть параллельными, пересекаться в одной общей точке или скрещивающимися. Две прямые, находящиеся  в пространстве, называют пересекающимися, если они имеют одну общую точку.

Определение точки пересечения прямых звучит так:

Точка, в которой пересекаются две прямые, называют их точкой пересечения. Иначе говоря, что точка пересекающихся прямых и есть точка пересечения.

Рассмотрим на рисунке, приведенном ниже.

Нахождение координат точки пересечения двух прямых на плоскости

Перед нахождением координат точки пересечения двух прямых, необходимо рассмотреть предлагаемый ниже пример.

Если на плоскости имеется система координат Оху, то задаются две прямые a и b. Прямой a соответствует общее уравнение вида A1x+B1y+C1=0, для прямой b — A2x+B2y+C2=0. Тогда M0(x0, y0) является некоторой точкой плоскости необходимо выявить , будет ли точка М0 являться точкой пересечения этих прямых.

Чтобы решить поставленную задачу, необходимо придерживаться определения. Тогда прямые должны пересекаться  в точке, координаты которой  являются решением заданных уравнений A1x+B1y+C1=0 и A2x+B2y+C2=0. Значит, координаты точки пересечения подставляются во все заданные уравнения. Если они при подстановке дают верное тождество, тогда M0(x0, y0) считается их точкой пересечения.

Даны две пересекающиеся прямые 5x-2y-16=0 и 2x-5y-19=0. Будет ли точка М0 с координатами (2,-3) являться точкой пересечения.

Решение

Чтобы пересечение прямых было действительным, необходимо, чтобы координаты точки М0 удовлетворяли уравнениям прямых. Это проверяется при помощи их подстановки. Получаем, что 

5·2-2·(-3)-16=0⇔0=02·2-5·(-3)-19=0⇔0=0

Оба равенства верные, значит М0 (2, -3) является точкой пересечения заданных прямых.

Изобразим данное решение на координатной прямой рисунка, приведенного ниже.

Ответ:  заданная точка с координатами (2,-3) будет являться точкой пересечения заданных прямых.

Пересекутся ли прямые 5x+3y-1=0 и 7x-2y+11=0 в точке M0 (2, -3)?

Решение

Для решения задачи необходимо подставить координаты точки во все уравнения. Получим, что

5·2+3·(-3)-1=0⇔0=07·2-2·(-3)+11=0⇔31=0

Второе равенство не является верным, значит, что заданная точка не принадлежит прямой 7x-2y+11=0. Отсюда имеем, что точка М0 не точка пересечения прямых.

Чертеж наглядно показывает, что М0_{— это не точка пересечения прямых. Они имеют общую точку с координатами (-1,2).}

Ответ: точка с координатами (2,-3) не является точкой пересечения заданных прямых.

Переходим к нахождению координат точек пересечения двух прямых при помощи заданных уравнений на  плоскости.

Задаются две пересекающиеся прямые a и b уравнениями вида A1x+B1y+C1=0 и A2x+B2y+C2=0, расположенных в Оху. При обозначении точки пересечения М0 получим, что следует  продолжить поиск координат по уравнениям A1x+B1y+C1=0 и A2x+B2y+C2=0.

Из определения очевидно, что М0 является общей точкой пересечения прямых. В этом случае ее координаты должны удовлетворять уравнениям A1x+B1y+C1=0 и A2x+B2y+C2=0. Иными словами это и есть решение полученной системы A1x+B1y+C1=0A2x+B2y+C2=0.

Значит, для нахождения координат точки пересечения , необходимо все уравнения добавить в систему и решить ее.

Заданы две прямые x-9y+14=0 и 5x-2y-16=0 на плоскости. необходимо найти их пересечение.

Решение

Данные по условию уравнения необходимо собрать в систему, после чего получим x-9y+14=05x-2y-16=0. Чтобы решить его, разрешается первое уравнение относительно x, подставляется выражение во второе:

x-9y+14=05x-2y-16=0⇔x=9y-145x-2y-16=0⇔⇔x=9y-145·9y-14-2y-16=0⇔x=9y-1443y-86=0⇔⇔x=9y-14y=2⇔x=9·2-14y=2⇔x=4y=2

Получившиеся числа являются координатами, которые необходимо было найти.

Ответ: M0 (4, 2) является точкой  пересечения прямых x-9y+14=0 и 5x-2y-16=0.

Поиск координат сводится к решению системы линейных уравнений. Если по условию дан другой вид уравнения, тогда следует привести его к нормальному виду.

Определить координаты точек пересечения прямых x-5=y-4-3 и x=4+9·λy=2+λ, λ∈R.

Решение

Для начала необходимо привести уравнения к общему виду.  Тогда получаем, что x=4+9·λy=2+λ, λ∈R преобразуется таким образом:

x=4+9·λy=2+λ⇔λ=x-49λ=y-21⇔x-49=y-21⇔⇔1·(x-4)=9·(y-2)⇔x-9y+14=0

После чего беремся за уравнение канонического вида x-5=y-4-3 и преобразуем. Получаем, что 

x-5=y-4-3⇔-3·x=-5·y-4⇔3x-5y+20=0

Отсюда имеем, что координаты – это точка пересечения

x-9y+14=03x-5y+20=0⇔x-9y=-143x-5y=-20

Применим метод Крамера для нахождения координат:

∆=1-93-5=1·(-5)-(-9)·3=22∆x=-14-9-20-5=-14·(-5)-(-9)·(-20)=-110⇒x=∆x∆=-11022=-5∆y=1-143-20=1·(-20)-(-14)·3=22⇒y=∆y∆=2222=1

Ответ: M0 (-5, 1).

Имеется еще способ для нахождения координат точки пересечения прямых, находящихся на плоскости. Он применим, когда одна из прямых задается параметрическими уравнениями, имеющими вид x=x1+ax·λy=y1+ay·λ, λ∈R. Тогда вместо значения x подставляется x=x1+ax·λ и y=y1+ay·λ, где получим λ=λ0, соответствующее точке пересечения, имеющей координаты x1+ax·λ0, y1+ay·λ0.

Определить координаты точки пересечения прямой x=4+9·λy=2+λ, λ∈R и x-5=y-4-3.

Решение

Необходимо выполнить подстановку в x-5=y-4-3 выражением x=4+9·λ, y=2+λ, тогда получим:

4+9·λ-5=2+λ-4-3

При решении получаем, что λ=-1. Отсюда следует, что имеется точка пересечения между прямыми x=4+9·λy=2+λ, λ∈R и x-5=y-4-3. Для вычисления координат необходимо подставить выражение λ=-1 в параметрическое уравнение. Тогда получаем, что x=4+9·(-1)y=2+(-1)⇔x=-5y=1.

Ответ: M0 (-5, 1).

Для полного понимания темы, необходимо знать некоторые нюансы.

Предварительно необходимо понять расположение прямых. При их пересечении мы найдем координаты, в других случаях решения существовать не будет. Чтобы не делать эту проверку, можно составлять систему вида A1x+B1y+ C1=0A2x+B2+C2=0 При наличии решения делаем вывод о том, что прямые пересекаются. Если решение отсутствует, то они параллельны. Когда система имеет бесконечное множество решений, тогда говорят, что они совпадают.

Нужна помощь преподавателя?

Опиши задание — и наши эксперты тебе помогут!

Даны прямые x3+y-4=1 и y=43x-4. Определить, имеют ли они общую точку.

Решение

Упрощая заданные уравнения, получаем 13x-14y-1=0 и 43x-y-4=0.  

Следует собрать уравнения в систему для последующего решения:

13x-14y-1=013x-y-4=0⇔13x-14y=143x-y=4

Отсюда видно, что уравнения выражаются друг через друга, тогда получим бесконечное множество решений. Тогда уравнения x3+y-4=1 и y=43x-4 определяют одну и ту же прямую. Поэтому нет точек пересечения.

Ответ: заданные уравнения определяют одну и ту же прямую.

Найти координаты точки пересекающихся прямых 2x+(2-3)y+7=0 и 23+2x-7y-1=0.

Решение

По условию возможно такое, прямые не будут пересекаться. Необходимо составить систему уравнений и решать. Для решения необходимо использовать метод Гаусса, так как с его помощью есть возможность проверить уравнение на совместимость. Получаем систему вида:

2x+(2-3)y+7=02(3+2)x-7y-1=0⇔2x+(2-3)y=-72(3+2)x-7y=1⇔⇔2x+2-3y=-72(3+2)x-7y+(2x+(2-3)y)·(-(3+2))=1+-7·(-(3+2))⇔⇔2x+(2-3)y=-70=22-72

Получили неверное равенство, значит система не имеет решений. Делаем вывод, что прямые являются параллельными. Точек пересечения нет.

Второй способ решения.

Для начала нужно определить наличие пересечения прямых.

n1→=(2, 2-3) является нормальным вектором прямой 2x+(2-3)y+7=0, тогда вектор n2→=(2(3+2), -7 — нормальный вектор для прямой 23+2x-7y-1=0.

Необходимо выполнить проверку коллинеарности векторов n1→=(2, 2-3) и n2→=(2(3+2), -7). Получим равенство вида 22(3+2)=2-3-7. Оно верное, потому как 223+2-2-3-7=7+2-3(3+2)7(3+2)=7-77(3+2)=0. Отсюда следует, что векторы коллинеарны. Значит, прямые являются параллельными и не имеют точек пересечения.

Ответ: точек пересечения нет, прямые параллельны.

Найти координаты пересечения заданных прямых 2x-1=0 и y=54x-2.

Решение

Для решения составляем систему уравнений. Получаем

2x-1=054x-y-2=0⇔2x=154x-y=2

Найдем определитель основной матрицы. Для этого 2054-1=2·(-1)-0·54=-2. Так как он не равен нулю, система имеет 1 решение. Отсюда следует, что прямые пересекаются. Решим систему для нахождения координат точек пересечения:

2x=154x-y=2⇔x=1245x-y=2⇔x=1254·12-y=2⇔x=12y=-118

Получили, что точка пересечения заданных прямых имеет координаты M0(12, -118).

Ответ: M0(12, -118).

Нахождения координат точки пересечения двух прямых в пространстве

Таким же образом находятся точки пересечения прямых пространства.

Когда заданы прямые a и b в координатной плоскости Охуz уравнениями пересекающихся плоскостей, то имеется прямая a , которая  может быть определена при помощи заданной системы A1x+B1y+C1z+D1=0A2x+B2y+C2z+D1=0 а прямая b — A3x+B3y+C3z+D3=0A4x+B4y+C4z+D4=0.

Когда точка М0 является точкой пересечения прямых, тогда ее координаты должны быть решениями обоих уравнений. Получим линейные уравнения в системе:

A1x+B1y+C1z+D1=0A2x+B2y+C2z+D2=0A3x+B3y+C3z+D3=0A4x+B4y+C4z+D4=0

Рассмотрим подобные задания на примерах.

Найти координаты точки пересечения заданных прямых x-1=0y+2z+3=0 и 3x+2y+3=04x-2z-4=0

Решение

Составляем систему x-1=0y+2z+3=03x+2y+3=04x-2z-4=0 и решим ее. Чтобы найти координаты, необходимо решать через матрицу. Тогда получим основную матрицу вида   A=10001232040-2 и расширенную T=1001012-340-24. Определяем ранг матрицы по Гауссу.

Получаем, что

1=1≠0, 1001=1≠0, 100012320=-4≠0, 1001012-3320-340-24=0

Отсюда следует, что ранг расширенной матрицы имеет значение 3. Тогда система уравнений  x-1=0y+2z+3=03x+2y+3=04x-27-4=0 в результате дает только одно решение.

Базисный минор имеет определитель 100012320=-4≠0, тогда последнее уравнение не подходит. Получим, что x-1=0y+2z+3=03x+2y+3=04x-2z-4=0⇔x=1y+2z=-33x+2y-3 . Решение системы x=1y+2z=-33x+2y=-3⇔x=1y+2z=-33·1+2y=-3⇔x=1y+2z=-3y=-3⇔⇔x=1-3+2z=-3y=-3⇔x=1z=0y=-3.

Значит, имеем, что точка пересечения x-1=0y+2z+3=0 и 3x+2y+3=04x-2z-4=0   имеет координаты (1, -3, 0).

Ответ: (1, -3, 0).

Система вида A1x+B1y+C1z+D1=0A2x+B2y+C2z+D2=0A3x+B3y+C3z+D3=0A4x+B4y+C4z+D4=0 имеет только одно решение. Значит, прямые a и b пересекаются.

В остальных случаях уравнение не имеет решения, то есть и общих точек тоже. То есть невозможно найти точку с координатами, так как ее нет.

Поэтому система вида A1x+B1y+C1z+D1=0A2x+B2y+C2z+D2=0A3x+B3y+C3z+D3=0A4x+B4y+C4z+D4=0 решается методом Гаусса. При ее несовместимости прямые не являются пересекающимися. Если решений бесконечное множество, то они совпадают.

Можно произвести решение при помощи вычисления основного и расширенного ранга матрицы, после чего применить теорему Кронекера-Капелли. Получим одно, множество или полное отсутствие решений.

Заданы уравнения прямых x+2y-3z-4=02x-y+5=0 и x-3z=03x-2y+2z-1=0. Найти точку пересечения.

Решение

Для начала составим систему уравнений. Получим, что x+2y-3z-4=02x-y+5=0x-3z=03x-2y+2z-1=0 . решаем ее методом Гаусса:

12-342-10-510-303-221~12-340-56-130-20-40-811-11~~12-340-56-1300-125650075-1595~12-340-56-1300-1256500031110

Очевидно, что система не имеет решений, значит прямые не пересекаются. Точки пересечения нет.

Ответ: нет точки пересечения.

Если прямые заданы при помощи кононических или параметрических уравнений, нужно привести к виду уравнений пересекающихся плоскостей, после чего найти координаты.

Заданы две прямые x=-3-λy=-3·λz=-2+3·λ, λ∈R и x2=y-30=z5 в Охуz. Найти точку пересечения.

Решение

Задаем прямые уравнениями двух пересекающихся плоскостей. Получаем, что

x=-3-λy=-3·λz=-2+3·λ⇔λ=x+3-1λ=y-3λ=z+23⇔x+3-1=y-3=z+23⇔⇔x+3-1=y-3x+3-1=z+23⇔3x-y+9=03x+z+11=0x2=y-30=z5⇔y-3=0x2=z5⇔y-3=05x-2z=0

Находим координаты 3x-y+9=03x+z+11=0y-3=05x-2z=0, для этого посчитаем ранги матрицы. Ранг матрицы равен 3, а базисный минор 3-10301010=-3≠0, значит, что из системы необходимо исключить последнее уравнение. Получаем, что

3x-y+9=03x+z+11=0y-3=05x-2z=0⇔3x-y+9=03x+z+11=0y-3=0

Решим систему методом Крамер. Получаем, что x=-2y=3z=-5. Отсюда получаем, что пересечение заданных прямых дает точку с координатами (-2, 3, -5).

Ответ: (-2, 3, -5).

Условные знаки ISSOM

Не удается найти страницу | Autodesk Knowledge Network

(* {{l10n_strings.REQUIRED_FIELD}})

{{l10n_strings.CREATE_NEW_COLLECTION}}*

{{l10n_strings.ADD_COLLECTION_DESCRIPTION}}

  импортировать numpy как np
из matplotlib импортировать pyplot как plt

N = 12
t = np.linspace (0, 50, N)
кривая1 = np.sin (t * .08 + 1.4) * np.random.uniform (0.5, 0.9) + 1
кривая2 = -np.cos (t * .07 + .1) * np.random.uniform (0.7, 1.0) + 1
# обратите внимание, что с этого момента у нас нет точной формулы кривых, так как мы не сохраняли случайные числа
# у нас есть только точки, соответствующие заданным значениям t

fig, ax = plt.subplots ()
ax.plot (t, кривая1, 'b-')
ax.plot (t, кривая1, 'bo')
ax.plot (t, кривая2, 'r-')
топор.plot (t, curve2, 'ro')

пересечения = []
prev_dif = 0
t0, prev_c1, prev_c2 = Нет, Нет, Нет
для t1, c1, c2 в zip (t, curve1, curve2):
    new_dif = c2 - c1
    if np.abs (new_dif) <1e-12: # нашел точный ноль, это очень маловероятно
        перекрестки.append ((t1, c1))
    elif new_dif * prev_dif <0: # функция изменила знаки между этой точкой и предыдущей
        # делаем линейную интерполяцию, чтобы найти t между t0 и t1, где кривые будут равны
        # это пересечение между линией [(t0, prev_c1), (t1, c1)] и линией [(t0, prev_c2), (t1, c2)]
        # из-за смены знака мы знаем, что есть пересечение между t0 и t1
        denom = prev_dif - новый_dif
        перекрестки.добавить (((- new_dif * t0 + prev_dif * t1) / denom, (c1 * prev_c2 - c2 * prev_c1) / denom))
    t0, prev_c1, prev_c2, prev_dif = t1, c1, c2, new_dif
печать (пересечения)

ax.plot (* zip (* пересечения), 'go', альфа = 0,7, мс = 10)
plt.show ()