Расстояние от точки до точки онлайн – Калькулятор расстояний — считайте расстояния онлайн!

Расстояние от точки до прямой онлайн

С помощю этого онлайн калькулятора можно найти расстояние от точки до прямой. Дается подробное решение с пояснениями. Для вычисления расстояния от точки до прямой, задайте размерность (2-если рассматривается прямая на плоскости, 3- если рассматривается прямая в пространстве), введите координаты точки и элементы уравнения в ячейки и нажимайте на кнопку «Решить».

Очистить все ячейки?

Инструкция ввода данных. Числа вводятся в виде целых чисел (примеры: 487, 5, -7623 и т.д.), десятичных чисел (напр. 67., 102.54 и т.д.) или дробей. Дробь нужно набирать в виде a/b, где a и b (b>0) целые или десятичные числа. Примеры 45/5, 6.6/76.4, -7/6.7 и т.д.

 

Расстояние от точки до прямой − теория, примеры и решения

Рассмотрим эту задачу в двухмерном и трехмерном пространствах.

1. Расстояние от точки до прямой на плоскости

Пусть в двухмерном пространстве задана точка M₀(x

0, y₀) и прямая L:

где q=(m,p) направляющий вектор прямой L.

Найдем расстояние от точки M₀ до прямой (1)(Рис.1).

Алгоритм нахождения расстояния от точки M₀ до прямой L содержит следующие шаги:

• построить прямую L₁, проходящую через точку M₀ и перпендикулярную прямой L,
• найти пересечение прямых L и L₁(точка M₁)
• найти найти расстояние между точками M₀ и M₁.

Уравнение прямой, проходящей через точку M₀(x₀

, y₀) имеет следующий вид:

где n=(A,B) нормальный вектор прямой L₁.

Как видно из рисунка Рис.1, для того, чтобы прямая L₁ была перпендикулярна прямой L нужно , чтобы направляющий вектор q прямой L была коллинеарна нормальному вектору n прямой L₁, поэтому в качестве нормального вектора прямой L₁ достаточно взять направляющий вектор прямой L. Тогда уравнение прямой L₁, представленной уравнением (2) можно записать так:

Откроем скобки

Для нахождения точки пересечения прямых L и L₁, которая и будет проекцией точки

M₀ на прямую L, можно решить систему из двух уравнений (1) и (3) с двумя неизвестными x и y. Выражая неизвестную x из одного уравнения и подставляя в другое уравнение получим координаты точки M₁(x₁, y₁).

Найдем точку пересечения прямых L и L₁ другим методом.

Выведем параметрическое уравнение прямой (1):

Подставим значения x и y в (4):

Мы нашли такое значение t=t’, при котором координаты x и y точки на прямой L удовлетворяют уравнению прямой L₁(4). Следовательно, подставляя значение

t’ в (5) получим координаты проекции точки M₀ на прямую L:

где x₁=mt’+x’, y₁=pt’+y’.

Далее находим расстояние между точками M₀ и M₁ используя формулу:

 

Пример 1. Найти расстояние от точки M₀(−6, 2) до прямой

Решение.

Направляющий вектор прямой (8) имеет вид:

Т.е. m=2, p=−1. Из уравнения прямой (8) видно, что она проходит через точку M’ (x’, y’)=(1, 7)(в этом легко убедится − подставляя эти значения в (8) получим тождество 0=0), т.е.

x’=1, y’=7. Подставим значения m, p, x₀, y₀, x’, y’ в (6):

Подставляя значение t в (5), получим:

Вычислим расстояние между точками M₀(-6, 2) и M₁

Упростим и решим:

Ответ:

Расстояние от точки M₀(-6, 2) до прямой (8) :

 

2. Расстояние от точки до прямой в пространстве

Пусть в трехмерном пространстве задана точка M₀(x₀, y₀, z₀) и прямая L:

где q=(m, p, l) направляющий вектор прямой L.

Найдем расстояние от точки M₀ до прямой (9)(Рис.2).

Алгоритм нахождения расстояния от точки до прямой

L содержит следующие шаги:

• построить плоскость α, проходящую через точку M₀ и перпендикулярную прямой L,
• найти пересечение плоскости α и прямой L(точка M₁)
• найти расстояние между точками M₀ и M₁.

Уравнение плоскости, проходящей через точку M₀(x₀, y₀, z₀) имеет следующий вид:

где n=(A,B,C) нормальный вектор плоскости α.

Как видно из рисунка Рис.2, для того, чтобы плоскость α была перпендикулярна прямой L нужно , чтобы направляющий вектор

q прямой L была коллинеарна нормальному вектору n плоскости α, поэтому в качестве нормального вектора плоскости α достаточно взять направляющий вектор прямой L. Тогда уравнение плоскости α, представленной уравнением (10) можно записать так:

Откроем скобки

Для нахождения точки пересечения плоскости α и прямой L, которая и будет проекцией точки M₀ на прямую L, выведем параметрическое уравнение прямой (9):

Подставим значения x и y в (11):

Мы нашли такое значение t=t’, при котором координаты x,y и z точки на прямой L

удовлетворяют уравнению плоскости (11). Следовательно, подставляя значение t’ в (12) получим координаты проекции точки M₀ на прямую L:

где x₁=mt’+x’, y₁=pt’+y’, z₁=lt’+z’.

Далее вычисляем расстояние между точками M₀ и M₁ используя формулу

которое является расстоянием между точкой M₀ и прямой (9).

Пример 2. Найти расстояние от точки M₀(1, 2, 1) до прямой

Решение.

Направляющий вектор прямой (15) имеет вид:

Т.е. m=2,

p=4, l=−6. Из уравнения прямой (15) видно, что она проходит через точку M’ (x’, y’, z’)=(4, 3, 1)(в этом легко убедится − подставляя эти значения в (15) получим тождество 0=0=0), т.е. x’=4, y’=3, z’=1. Подставим значения m, p, l x₀, y₀, z₀ x’, y’, z’ в (13):

Подставляя значение t=t’ в (12), получим координаты точки M₁:

Далее, используя формулу (14) вычисляем расстояние от точки M₀ до прямой (15):

Упростим и решим:

Ответ:

Расстояние от точки M₀(1, 2, 1) до прямой (15) :

matworld.ru

Расстояние от точки до плоскости онлайн

С помощю этого онлайн калькулятора можно найти расстояние от точки до заданной плоскости. Дается подробное решение с пояснениями. Для вычисления расстояния от точки до плоскости введите координаты точки и коэффициенты уравнения плоскости в ячейки и нажимайте на кнопку «Решить».

Очистить все ячейки?

Инструкция ввода данных. Числа вводятся в виде целых чисел (примеры: 487, 5, -7623 и т.д.), десятичных чисел (напр. 67., 102.54 и т.д.) или дробей. Дробь нужно набирать в виде a/b, где a и b (b>0) целые или десятичные числа. Примеры 45/5, 6.6/76.4, -7/6.7 и т.д.

 

Расстояние от точки до плоскости − теория, примеры и решения

Для нахождения расстояния от точки M₀ до плоскости α, необходимо найти расстояние от точки M₀ до проекции точки M₀ на плоскость α:

Нахождение расстояния от точки до плоскости содержит следующие шаги:

1. построение прямой L, проходящей через точку M₀ и перпендикулярной плоскости α.
2. нахождение точки M₁ пересечения плоскости α с прямой L(Рис.1).
3. вычисление расстояния между точками M₀ и M₁.

1. Общее уравнение плоскости имеет вид:

где n(A,B,C)− называется нормальным вектором плоскости.

Уравнение прямой, проходящей через точку M₀(x₀, y₀, z₀) и имеющий направляющий вектор q(l, m, n) имеет следующий вид:

Для того, чтобы прямая (2) была ортогональна плоскости (1), направляющий вектор q(l, m, n) прямой (2) должен быть коллинеарным нормальному вектору n(A,B,C) плоскости (1)(Рис. 1). Следовательно, в качестве направляющего вектора прямой (2) можно взять нормальный вектор плоскости (1) .

Таким образом, уравнение прямой, проходящей через точку M₀(x₀, y₀, z₀) и ортогональной плоскости (1) имеет следующий вид:

Для нахождения точку пересечения прямой L с плоскостью α, проще всего рассматривать параметрическое уравнение прямой. Составим ее

Выразим переменные x, y, z через рараметр t.

2. Найдем точку пересечения прямой (4) с плоскостью (1). Для этого нужно найти такой параметр t, при котором точка M(x, y, z) принадлежит плоскости (1). Поэтому подставим значения x,y,z из выражения (4) в (1) и решим относительно t.

Подставляя значение параметра t в выражения (4), находим проекцию M₁(x₁, y₁, z₁) точки M₀ на плоскость (1).

3. Найдем, наконец, расстояние от точки M₀ до плоскости (1). Очевидно, что расстояние от точки M₀ до плоскости (1) − это расстояние от точки M₀ до точки M₁. А это расстояние вычисляется так:

Учитывая значение параметра t, имеем:

 

Пример 1. Найти расстояние от точки M₀(2, -1, -9/31) до плоскости

Решение.

Нормальный вектор плоскости имеет вид:

т.е. A=5, B=1, C=2.

Координаты точки M₀: x₀=2, y₀=−1, z₀=−9/31.

Подставляя координаты точки M₀ и нормального вектора плоскости в (5), получим:

Из выражений (4) находим:

Проекцией точки M₀(2, -1, -9/31) на плоскость (7) является точка:

Вычислим расстояние между точками M₀ и M₁:

Упростим:

Ответ:

Расстояние от точки M₀(2, -1, -9/31) до плоскости (7):

matworld.ru

Расчет расстояния от прямой до точки

Уравнение прямой в различных видах

Общее уравнение прямой

Уравнение прямой с угловым коэффициентом

Уравнение прямой в отрезках

Нормальное уравнение прямой

Расстояние между заданной точкой и прямой составляет(в условных единицах)

Расчет расстояния от прямой до точки

В школьной программе есть задачи на нахождение кратчайшего расстояния точки до прямой.

Прямая может быть задана или формулой или двумя координатами.

если прямая линия задана формулой то расчет растояния до точки (x1,y1)осуществляется по следующим формулам

Так как расстояние  не может быть отрицательным, то знак + или — означает лишь следующее:

Значение  положительно, если точка и начало координат лежат по разные стороны от прямой, и отрицательно, если по одну сторону.

В принице, Вы можете воспользоваться универсальным определителем параметров прямой Расчет параметров прямой линии по заданным параметрам

Характеристики прямой могут быть достаточно разнообразны:

Прямую можно задать с помощью двух координат (xa:ya) и (xb:yb)

Можно задать  в виде коэффициентов A, B и C прямой выраженной в виде 

или в виде значений k и a прямой выраженной в виде 

а также в любых других видах, в параметрическом или прямой в отрезках.

Точка с координатами (x0:y0) — это как раз та точка рассстояние между которой и прямой и надо определить. 

Примеры

Найти расстояние между точкой с координатами (2:1) и  прямой, проходящей через две точки: (2.38:2.98) и (-2.08:-1.74)

Логично предположить что нам известно

xa, xb, ya  yb — это параметры  прямой линии

а x0 и y0 — это координаты точки

так и запишем в запросе

line xa=2.38;ya=2.98;xb=-2.08;yb=-1.74;x0=2;y0=1

В ответе получаем

Параметры прямой линии  по заданным параметрам

Общее уравнение Ax+By+C=0

Коэффициент А=4.72

Коэффициент B=-4.46

Коэффициент C=2.0572

Уравнение прямой в отрезках  x/a+y/b = 1

Коэффициент a=-0.43584745762712

Коэффициент b=0.46125560538117

Уравнение прямой c угловым коэфициентом  y = kx + b

Коэффициент k=1.0582959641255

Угол наклона к оси ( в градусах) f=46.622322587496

Нормальное уравнение прямой x*cos(q)+y*sin(q)-p = 0

Коэффициент p=-0.31679237157357

Коэффициент q=2.3845093608736

Расстояние между точками=6.4938432380217

Расстояние от точки до прямой dp = -1.0836726021959

 

Таким  образом наш ответ 1.0836726021959

Знак минус говорит о том, что начало координат и  точка лежат по одну сторону от заданной прямой

---

Найти расстояние до точки (-4:-2) до прямой, заданная уравнением 3x+4y=5

Пишем следующий запрос

line x0=-4;y0=-2;A=3;B=4;C=-5

Получаем ответ

Параметры прямой линии  по заданным параметрам

Общее уравнение Ax+By+C=0

Коэффициент А=3

Коэффициент B=4

Коэффициент C=-5

Уравнение прямой в отрезках  x/a+y/b = 1

Коэффициент a=1.6666666666666

Коэффициент b=1.25

Уравнение прямой c угловым коэфициентом  y = kx + b

Коэффициент k=-0.75

Угол наклона к оси ( в градусах) f=-36.869897645844

Нормальное уравнение прямой x*cos(q)+y*sin(q)-p = 0

Коэффициент p=-0.99999999999998

Коэффициент q=0.92729521800162

Расстояние между точками=

Расстояние от точки до прямой dp = -4.9999999999999

 

Ответ на задачу  = 4.9999999 то есть 5

и как можно убедиться на рисунке,  точка начала кординат и заданная точка лежит тоже на одной стороне от заданной прямой

 

• Теорема Стюарта онлайн >>

abakbot.ru

No related posts.