Посчитать расстояние от точки до точки: Sorry, this page can’t be found.

{{l10n_strings.DRAG_TEXT_HELP}}

{{article.content_lang.display}}

{{l10n_strings.AUTHOR_TOOLTIP_TEXT}}

Евклидова, L1 и Чебышёва — 3 основные метрики, которые пригодятся в Data Science

Не важно, начинаете вы осваивать Data Science или работаете в этой сфере не первый год, вам наверняка пригодятся эти метрики. Разбираемся, что они из себя представляют и чем отличаются друг от друга.

Евклидово расстояние (расстояние по прямой)

Евклидово расстояние самое интуитивное для понимания: именно Евклидову метрику мы представляем, когда кто-то просит нас измерить расстояние между точками.

Евклидово расстояние — это прямая линия между двумя точками с координатами X и Y. Например, одной из таких точек может быть город на карте с его координатами долготы и широты.

Евклидово расстояние характеризуется прямой линией. Допустим, вам нужно измерить расстояние по прямой между точками A и B на карте города, приведённой ниже.

Евклидово расстояние между двумя точками считается по теореме Пифагора

Для расчёта Евклидового расстояния вам понадобятся лишь координаты этих двух точек. Дистанцию между ними можно будет рассчитать по формуле Пифагора.2 = 67 600, а не 76 600. Тогда результат будет равен ~321.

Расстояние L1 (расстояние городских кварталов)

Расстояние L1 также известно как расстояние городских кварталов, манхэттенское расстояние, расстояние такси, метрика прямоугольного города — оно измеряет дистанцию не по кратчайшей прямой, а по блокам. Расстояние L1 измеряет дистанцию между городскими блоками: это расстояние всех прямых линий пути.

На следующем изображении показано расстояние L1 между двумя точками.

Расстояние L1 между двумя точками по блокам

Кроме показанного пути существует несколько альтернативных способов. Например, от точки A можно подняться на два блока вверх, а потом на три блока вправо, либо же на три блока вправо и два блока вверх.

Но расстояние L1 — это всё же просто дистанция, а поэтому траектория здесь не имеет значения. Единственное, что нужно понимать, это примерный путь: нужно пройти какое-то количество X блоков на восток и Y блоков на север. Сумма расстояний этих блоков и будет расстоянием L1 от точки A до точки B.

Пример расчёта расстояния L1 между двумя точками

Расстояние Чебышёва (метрика шахматной доски)

Расстояние Чебышёва известно ещё как расстояние шахматной доски. Чтобы понять принцип такой метрики, нужно представить короля на шахматной доске — он может ходить во всех направлениях: вперёд, назад, влево, вправо и по диагонали.

Расстояние Чебышёва между двумя точками

Разница расстояния L1 и расстояния Чебышёва в том, что при переходе на одну клетку по диагонали в первом случае засчитывается два хода (например вверх и влево), а во втором случае засчитывается всего один ход.

Ещё эти оба расстояния отличаются от Евклидового расстояния тем, что у Евклидового движение по диагонали рассчитывается по теореме Пифагора.

Сравнение путей 3 метрик

Расстояние Чебышёва можно представить как проход по шахматной доске.

Вот ещё один пример представления расстояния Чебышёва. Допустим, у вас есть дрон с двумя независимыми моторами: первый мотор тянет дрон вперёд, второй — в сторону. Оба мотора могут работать одновременно и равномерно на максимуме своей мощности.

Поэтому дрон может передвинуться на одну клетку по диагонали так же быстро, как по горизонтали или вертикали.

Посмотрите ещё раз на карту города по расстоянию Чебышёва. Первый шаг — оба мотора работают одновременно, второй шаг идентичен первому, а на третьем шаге мотор, тянущий дрон вперёд, отключается, и дрон смещается в сторону.

Таким образом, расстояние Чебышёва определяется как самая большая дистанция на одной оси.

Пример расчёта расстояния Чебышёва между двумя точками

Прим. ред. Полученный результат является условным и некорректно сравнивать его с другими результатами.

Перевод статьи «3 distances that every data scientist should know»

Найдите расстояние между точкой и линией

Если вы считаете, что контент, доступный через Веб-сайт (как определено в наших Условиях обслуживания), нарушает одно или другие ваши авторские права, сообщите нам, отправив письменное уведомление («Уведомление о нарушении»), содержащее в информацию, описанную ниже, назначенному ниже агенту. Если репетиторы университета предпримут действия в ответ на ан Уведомление о нарушении, оно предпримет добросовестную попытку связаться со стороной, которая предоставила такой контент средствами самого последнего адреса электронной почты, если таковой имеется, предоставленного такой стороной Varsity Tutors.

Ваше Уведомление о нарушении прав может быть отправлено стороне, предоставившей доступ к контенту, или третьим лицам, таким как в качестве ChillingEffects.org.

Обратите внимание, что вы будете нести ответственность за ущерб (включая расходы и гонорары адвокатам), если вы существенно искажать информацию о том, что продукт или действие нарушает ваши авторские права. Таким образом, если вы не уверены, что контент находится на Веб-сайте или по ссылке с него нарушает ваши авторские права, вам следует сначала обратиться к юристу.

Чтобы отправить уведомление, выполните следующие действия:

Вы должны включить следующее:

Физическая или электронная подпись правообладателя или лица, уполномоченного действовать от их имени; Идентификация авторских прав, которые, как утверждается, были нарушены; Описание характера и точного местонахождения контента, который, по вашему мнению, нарушает ваши авторские права, в \ достаточно подробностей, чтобы позволить репетиторам университетских школ найти и точно идентифицировать этот контент; например, мы требуем а ссылка на конкретный вопрос (а не только на название вопроса), который содержит содержание и описание к какой конкретной части вопроса — изображению, ссылке, тексту и т. д. — относится ваша жалоба; Ваше имя, адрес, номер телефона и адрес электронной почты; и Ваше заявление: (а) вы добросовестно полагаете, что использование контента, который, по вашему мнению, нарушает ваши авторские права не разрешены законом, владельцем авторских прав или его агентом; (б) что все информация, содержащаяся в вашем Уведомлении о нарушении, является точной, и (c) под страхом наказания за лжесвидетельство, что вы либо владелец авторских прав, либо лицо, уполномоченное действовать от их имени.

Отправьте жалобу нашему уполномоченному агенту по адресу:

Чарльз Кон Varsity Tutors LLC
101 S. Hanley Rd, Suite 300
St. Louis, MO 63105

Или заполните форму ниже:

Как найти расстояние от точки до прямой

Обновлено 13 декабря 2020 г.

Джон Папевски

Хорошее владение алгеброй поможет вам решать геометрические задачи, например, найти расстояние от точки до линии.Решение включает в себя создание новой перпендикулярной линии, соединяющей точку с исходной линией, затем поиск точки пересечения двух линий и, наконец, вычисление длины новой линии до точки пересечения.

TL; DR (слишком длинный; не читал)

Чтобы найти расстояние от точки до линии, сначала найдите перпендикулярную линию, проходящую через точку. Затем, используя теорему Пифагора, найдите расстояние от исходной точки до точки пересечения двух прямых.

Найдите перпендикулярную линию

Новая линия будет перпендикулярна исходной, то есть две прямые пересекаются под прямым углом. Чтобы определить уравнение для новой линии, вы берете отрицательное значение, обратное наклону исходной линии. Две прямые, одна с наклоном A, а другая с наклоном -1 / A, будут пересекаться под прямым углом. Следующий шаг — подставить точку в уравнение формы пересечения наклона новой линии, чтобы определить ее точку пересечения по оси Y.

В качестве примера возьмем прямую y = x + 10 и точку (1,1).Обратите внимание, что наклон линии равен 1. Отрицательное обратное значение 1 равно -1. Таким образом, наклон новой линии равен -1, поэтому форма пересечения наклона новой линии будет y = -x + B, где B — это число, которое вы еще не знаете. Чтобы найти B, подставьте значения x и y точки в уравнение линии:

y = -x + B \\ 1 = -1 + B \\ 1 + 1 = -1 + 1 + B \\ 2 = B

Теперь у вас есть значение для B.

Уравнение новой линии тогда y = -x + 2.

Определить точку пересечения

Две линии пересекаются, когда их значения y равны.Вы найдете это, приравняв уравнения друг к другу, а затем решив относительно x. Когда вы нашли значение для x, подставьте значение в любое линейное уравнение (не имеет значения, какое из них), чтобы найти точку пересечения.

Продолжая пример, у вас есть исходная строка, y = x + 10, и новая строка, y = -x + 2. Приравняйте два уравнения друг к другу, затем решите для x:

x + 10 = -x + 2 // x + x + 10 = x-x + 2 // 2x + 10 = 2 // 2x = -8 // x = -4 //

Подставьте значение x, чтобы найти y:

Таким образом, точка пересечения равна (-4, 6)

Найти длину новой линии

Длина новой линии между данной точкой и вновь найденной точкой пересечения — это расстояние между этой точкой и исходной точкой. линия.Чтобы найти расстояние, вычтите значения x и y, чтобы получить смещения x и y. Это дает вам противоположные и смежные стороны прямоугольного треугольника; расстояние — это гипотенуза, которую вы найдете с помощью теоремы Пифагора. Сложите квадраты двух чисел и извлеките квадратный корень из результата.

Расстояние от точки до линии

У нас есть общая линия ax + by + c = 0ax + by + c = 0ax + by + c = 0 с именем LLL. Эта прямая имеет наклон −ab- \ frac {a} {b} −ba. У нас также есть общая точка P = (x0, y0) P = (x_0, y_0) P = (x0, y0).Расстояние между линией LLL и точкой PPP можно представить другой линией, перпендикулярной L; L; L; назовем это ТТТ. TTT будет иметь уклон ba \ frac {b} {a} ab, поскольку он перпендикулярен LLL. Теперь, чтобы найти расстояние между точкой PPP и линией L, L, L, мы можем использовать небольшой геометрический трюк и получить другую линию, параллельную LLL, которая проходит через PPP; назовем это SSS. Точно так же у нас может быть другая линия, на этот раз параллельная TTT, которая проходит через начало координат (0,0) (0,0) (0,0); назовем это RRR.

Теперь, когда время рисования закончилось, пора работать.

Во-первых, поскольку SSS проходит через PPP и имеет тот же наклон, что и LLL, его уравнение составляет

y − y0 = −ab (x − x0) ⟹ y = −ax + ax0 + by0b.y — y_0 = — \ dfrac {a} {b} (x — x_0) \ подразумевает y = \ dfrac {-ax + ax_0 + by_0} {b} .y − y0 = −ba (x − x0) ⟹y = b − ax + ax0 + by0.

Линия RRR имеет уравнение

y = bax. y = \ dfrac {b} {a} x.y = ab x.

Итак, линия SSS пересекается с линией RRR, когда

bax = −ax + ax0 + by0b ⟹ x = a (ax0 + by0) a2 + b2.2}}. \ end {align} d = (- a2 + b2ac −a2 + b2a (ax0 + by0)) 2 + (- a2 + b2bc −a2 + b2b (ax0 + by0)) 2 = (a2 + b2) 2 [−a (ax0 + by0 + c)] 2 + [- b (ax0 + by0 + c) v] 2 = (a2 + b2) 2 (a2 + b2 ) (ax0 + by0 + c) 2 = a2 + b2 (ax0 + by0 + c) 2 = a2 + b2 ∣ax0 + by0 + c∣.

Знак абсолютного значения необходим, так как расстояние должно быть положительным значением. 2))`

Знак абсолютного значения необходим, поскольку расстояние должно быть положительным значением, и некоторые комбинации A, m, B, n и C могут давать отрицательное число в числителе.2`

`= (| (-2) (5) + (3) (6) +4 |) / (sqrt (4 + 9)`

`= 3,328`

Вот график ситуации. Мы видим, что наш ответ чуть более 3 единиц является разумным.

Таким образом, требуемое расстояние составляет «3,3» единицы с точностью до 1 десятичного знака.

Пример 2

Найдите расстояние от точки `(-3, 7)` до линии

`y = 6 / 5x + 2`

Ответ

Сначала нам нужно выразить данную строку в стандартной форме.2`

`= (| (6) (- 3) + (- 5) (7) +10 |) / sqrt (36 + 25)`

`= | -5,506 |`

`= 5.506`

Таким образом, требуемое расстояние составляет «5,506» единиц с точностью до 3 десятичных знаков.

Расстояние от точки до линии

Расстояние от точки до линии — это кратчайшее расстояние между ними — длина отрезка перпендикулярной линии от прямой до точки.

Попробуй это С помощью ползунков измените формулу линии и перетащите точку C.Обратите внимание на расстояние от точки до линии. Вы также можете перетащить исходную точку на (0,0).

Когда мы говорим о расстоянии от точки до линии, мы имеем в виду кратчайшее расстояние. Если вы рисуете отрезок линии который перпендикулярен линии и заканчивается в точке, длина этого сегмента — это расстояние, которое мы хотим. На рисунке выше это расстояние от C до линии.

Есть много способов рассчитать это расстояние. В этом томе описаны четыре метода:

Метод 1.Когда линия горизонтальная или вертикальная

Метод 2. Использование двух линейных уравнений

Метод 3. Использование тригонометрии

Метод 4. По формуле

Ограничения

Для большей ясности в приведенном выше апплете координаты округлены до целых чисел, а длины округлены до одного десятичного знака. Это может привести к небольшому отклонению расчетов.

Подробнее см. Учебные заметки

Другие темы о координатной геометрии

(C) Открытый справочник по математике, 2011 г.
Все права защищены.

Как инструменты приближения вычисляют расстояние — ArcGIS Pro

Как определяется расстояние

Расстояние между любыми двумя объектами рассчитывается как кратчайшее расстояние между ними, то есть место, где два объекта находятся ближе всего друг к другу. Эта логика применяется к любому инструменту геообработки, который вычисляет расстояние, включая такие инструменты, как Ближайшая, Создать таблицу близости и Пространственное соединение (с параметром БЛИЖАЙШЕЕ совпадение).

Измерения расстояния будут наиболее точными, если входные данные находятся в эквидистантной системе координат проекции.Хотя расчеты расстояния всегда можно выполнить независимо от системы координат, результаты могут быть неточными или даже бессмысленными, если ваши данные находятся в географической системе координат или неправильно выбранной системе координат проекции.

Узнайте больше о системах координат и проекциях

В приведенном ниже обсуждении под расстоянием всегда понимается наименьшее расстояние между двумя объектами.

Особые соображения

• Несколько элементов могут быть в равной степени ближе всего к другому элементу.Когда это происходит, один из ближайших объектов случайным образом выбирается как самый близкий.
• Когда один объект содержит или находится внутри другого объекта, расстояние между ними равно нулю.
  • Это означает, что когда объект находится внутри полигона, расстояние между объектом и окружающим полигоном равно нулю.
• Расстояние между двумя объектами равно нулю, если между ними есть хотя бы одна координата x, y.
  • Это означает, что когда два объекта пересекаются, перекрываются, пересекаются или касаются друг друга, расстояние между ними равно нулю.
• Расстояние всегда рассчитывается до границы полигонального объекта, а не до центра или центроида полигона.
  • Как отмечалось выше, если объект полностью находится внутри многоугольника, расстояние между объектом и окружающим многоугольником равно нулю.
• Расстояние между двумя объектами (любого типа) всегда одинаково, независимо от того, до и от какого из них измеряется.

Основные операции для поиска расстояния

Расчет расстояния зависит от типа геометрии пространственных объектов, а также от других факторов, таких как система координат.Однако есть три основных правила, подробно описанных ниже, которые определяют, как рассчитывается расстояние.

1. Расстояние между двумя точками — это прямая линия, соединяющая точки.
2. Расстояние от точки до линии — это либо перпендикуляр, либо ближайшая вершина.
3. Расстояние между полилиниями определяется вершинами сегментов.

Правило 1. Расстояние между двумя точками — это прямая линия, соединяющая точки

На следующем рисунке показано расстояние между двумя точками вместе с несколькими другими ключевыми словами и функциями, используемыми инструментами приближения.

Ключевые слова в выносках выше (IN_FID, NEAR_DIST, NEAR_FID, NEAR_X, NEAR_Y и NEAR_ANGLE) — это поля, добавляемые к выходным данным с помощью инструментов «Создать ближайшую таблицу» и инструментов, а также к входному классу пространственных объектов при запуске инструмента «Рядом».

Многоточечный — многоточечный

Для особого случая расчета расстояний между многоточечными точками расстояния от каждой точки входного многоточечного объекта до каждой точки ближайшего многоточечного объекта вычисляются с использованием правила 1, и наименьшее из этих расстояний — это расстояние между две многоточечные функции.

Кроме того, когда одна из точек многоточечного соединения находится над одной из точек другого многоточечного объекта, расстояние между двумя объектами многоточечного соединения равно нулю. Это относится ко всем составным объектам.

Правило 2: Расстояние от точки до полилинии — это перпендикуляр или ближайшая вершина.

В ArcGIS линейные объекты называются полилиниями. Эти два термина, линия и полилиния, взаимозаменяемы. Полилиния — это упорядоченный набор точек, которые называются вершинами.Отдельная вершина — это вершина. Полилиния может иметь любое количество вершин. Линия, определяемая двумя вершинами, называется отрезком линии или отрезком. Две вершины, определяющие отрезок прямой, называются конечными вершинами.

Точно так же многоугольник — это замкнутая область, определяемая одной или несколькими полилиниями.

Кратчайшее расстояние от точки до сегмента линии — это перпендикуляр к сегменту линии. Если перпендикуляр не может быть проведен внутри конечных вершин отрезка прямой, то расстояние до ближайшей конечной вершины является кратчайшим расстоянием.

Укажите на полилинию

Если полилиния имеет только один линейный сегмент, для получения расстояния применяется Правило 2.

Когда полилиния состоит из нескольких сегментов (наиболее распространенный случай), сначала определяется ближайший к точке сегмент, а затем применяется Правило 2 для получения расстояния.

Точка к многоугольнику

Поскольку многоугольник — это область, окруженная упорядоченным набором линейных сегментов, вычисление расстояния от точки до многоугольника включает в себя определение ближайшего к точке линейного сегмента, а затем применяется Правило 2 для получения расстояние.

Расстояние положительно, только если точка находится за пределами многоугольника; в противном случае — ноль.

На приведенном выше рисунке расстояние равно нулю для точек 2 и 3 и положительно для точек 1 и 4.

Правило 3: Расстояние между полилиниями определяется вершинами линейных сегментов

Для двух неточечных объектов, таких как два линейных сегмента:

1. Расстояние от каждой конечной вершины входного сегмента до ближайшего сегмента рассчитывается с использованием правила 2.
2. Рассчитывается расстояние от каждой из конечных вершин ближнего сегмента до входного сегмента.

Полилиния в полилинию

В простейшем случае предположим, что у обоих полилиний есть по одному сегменту. На рисунке ниже показан перпендикуляр CX от вершины C к отрезку, определяемому вершинами AB. Перпендикуляр к вершине D также может быть вычислен, но его расстояние больше, чем CX.Таким образом, CX — это кратчайшее расстояние от сегмента CD до сегмента AB.

Обратите внимание, что нельзя провести перпендикуляр от вершины A или B к сегменту CD, поэтому кратчайшее расстояние вычисляется от вершин A и B до вершины C. В результате AC — это кратчайшее расстояние от сегмента AB до сегмента CD.

Из двух вычисленных расстояний (AC и CX) CX — это кратчайшее расстояние между двумя сегментами, так как это наименьшее из всех расстояний между вершинами и сегментами.

Если обе полилинии состоят из нескольких сегментов, обнаруживаются два ближайших сегмента, тогда расстояние между ними рассчитывается в соответствии с Правилом 3.

От полилинии к многоугольнику

При вычислении расстояния между полилинией и многоугольником идентифицируются два ближайших сегмента: один от ломаной линии, а другой от последовательности сегментов, составляющих границу многоугольника. Расстояние между этими двумя сегментами рассчитывается в соответствии с процессом, описанным в Правиле 3.

Резюме

Следующая диаграмма дает общую картину того, как рассчитываются расстояния между различными типами объектов и где находятся ближайшие местоположения. может быть таким, как описано выше.Показаны не все возможные комбинации.

Связанные темы

Отзыв по этой теме?

Используя R, как рассчитать расстояние от одной точки до линии?

Следует различать, имеем ли мы дело с двумерным или трехмерным случаем.

2D корпус

Если проблема двумерная, положение точек a , b и c может быть определено парами чисел, которые представляют координаты точек x и y .Следующая функция может использоваться для вычисления расстояния d от точки a от линии, определяемой двумя точками b и c :

  dist2d <- function (a, b, c) {
 v1 <- b - c
 v2 <- а - б
 m <- cbind (v1, v2)
 d <- абс (дет (м)) / sqrt (сумма (v1 * v1))
}
  

Вот пример, показывающий, как можно применить функцию:

  ## двухмерный корпус:
а2 <- с (0,2)
Ь2 <- с (2,0)
с2 <- с (1,3)
d2 <- dist2d (a2, b2, c2) # расстояние от точки a до линии (b, c) в 2D
#> d2
# [1] 1.264911
  

3D футляр

В трех измерениях проблема немного сложнее. Мы можем использовать следующие две функции:

  dist3d <- function (a, b, c) {
  v1 <- b - c
  v2 <- а - б
  v3 <- cross3d_prod (v1, v2)
  площадь <- sqrt (сумма (v3 * v3)) / 2
  d <- 2 * площадь / sqrt (сумма (v1 * v1))
}

cross3d_prod <- function (v1, v2) {
  v3 <- вектор ()
  v3 [1] <- v1 [2] * v2 [3] -v1 [3] * v2 [2]
  v3 [2] <- v1 [3] * v2 [1] -v1 [1] * v2 [3]
  v3 [3] <- v1 [1] * v2 [2] -v1 [2] * v2 [1]
  возврат (v3)
}
  

Основная функция для вычисления расстояния может быть вызвана так же, как в предыдущем примере в двух измерениях, с той лишь разницей, что теперь точки определяются тремя координатами, представляющими x , y и z , как показано в примере ниже:

  ## трехмерный футляр:
а3 <- с (0,0,2)
b3 <- c (1,0,0)
c3 <- c (2,3,1)
d3 <- dist3d (a3, b3, c3) # расстояние точки a от линии (b, c) в 3D
#> d3
# [1] 2.
No related posts.